פודקאסט על הפתרון:

מפת חשיבה על הפתרון:

מדריך למידה: פירוק מספר לחזקות שונות

חידון קצר

1. מהי המטרה של הפונקציה maxFactor(num)?
2. מדוע הסריקה לאחור על הבסיס k מתחילה מ-num-2?
3. מהם שני תנאי העצירה בפונקציה הרקורסיבית maxFactor(num, factor, i, path)?
4. מה מייצג המשתנה path בפונקציה maxFactor(num, factor, i, path)?
5. מה משמעות הביטוי "DFS תת-קבוצה של חזקות-k"?
6. הסבר בקצרה כיצד הפונקציה בודקת אם factor מתאים כבסיס לפירוק.
7. מהי הסיבוכיות הזמנית הגרועה ביותר של האלגוריתם, ומדוע?
8. מהי הסיבוכיות הזיכרונית של האלגוריתם?
9. תאר בקצרה את "הגורם החיצוני" בשיטה.
10. הסבר מה קורה אם לא נמצא בסיס k מתאים לפירוק num לחזקות שונות.

מפתח תשובות לחידון

1. המטרה של הפונקציה maxFactor(num) היא למצוא את הבסיס k הגדול ביותר (גדול או שווה ל-2) שמאפשר לייצג את num כסכום של חזקות שונות של k. אם לא קיים בסיס כזה, הפונקציה מחזירה 0.
2. הסריקה מתחילה מ-num-2 מכיוון שלא ייתכן בסיס גדול יותר ממספר זה. כדי שיהיה פירוק לחזקות שונות של k, צריכות להיות לפחות שתי חזקות חיוביות שונות של k, ולכן הבסיס לא יכול להיות גדול מ-num-2.
3. שני תנאי העצירה הם: 1) num == 0, מה שמצביע על כך שנמצא פירוק מוצלח ו-2) factor^i > num, כלומר, החזקה הנוכחית של factor גדולה מ-num ולכן לא ניתן להשתמש בה בפירוק.
4. המשתנה path מייצג את רצף החזקות של k שנבחרו עד כה במהלך החיפוש, והוא משמש למעקב אחר הפירוק הפוטנציאלי של num. הוא מאפשר לדעת אילו חזקות של הבסיס factor כבר נוספו לסכום.
5. "DFS תת-קבוצה של חזקות-k" מתייחס לחיפוש לעומק (DFS) בין כל האפשרויות לבחור או לא לבחור כל חזקה של k (מ-k^0 ומעלה) כדי ליצור סכום שווה ל-num. הוא עובר על כל תתי הקבוצות האפשריות של חזקות k.
6. הפונקציה בודקת אם factor מתאים כבסיס לפירוק על ידי שימוש ברקורסיה (DFS) כדי לבדוק האם אפשר להגיע ל-num == 0 באמצעות סכום של חזקות שונות של factor. אם נמצא מסלול כזה, הפונקציה מחזירה true, כלומר factor מתאים.
7. הסיבוכיות הזמנית הגרועה ביותר היא $Θ(num)$ כי במקרה הגרוע (k=2) מספר החזקות ≈ $log_2(num)$, ומספר תתי-הקבוצות הוא $2^{log_2 num}$.
8. הסיבוכיות הזיכרונית של האלגוריתם היא $O(log num)$ מכיוון שעומק הרקורסיה הוא לכל היותר $log_k(num)$.
9. "הגורם החיצוני" הוא סריקה לאחור על הבסיס k, החל מהערך num-2 ומטה, בניסיון למצוא את הבסיס הגדול ביותר שמספק פירוק לחזקות שונות.
10. אם לא נמצא בסיס k מתאים, הפונקציה ממשיכה לסרוק עד k=1. אם הסריקה מגיעה ל-k=1 ולא נמצא בסיס מתאים, הפונקציה מחזירה 0.

שאלות לחיבור

1. נתח את היתרונות והחסרונות של שימוש ב-DFS לפתרון בעיית פירוק המספר לחזקות שונות.
2. הסבר כיצד ניתן לשפר את הסיבוכיות הזמנית של האלגוריתם, בהתחשב בכך שבמקרה הגרוע הוא אקספוננציאלי.
3. תאר מקרה שימוש ממשי (מחוץ לתחום התכנות) שבו ניתן ליישם את העיקרון של פירוק מספר לרכיבים שונים.
4. השווה את הגישה של האלגוריתם הזה לבעיה של פירוק מספר לבעיות פירוק מספר אחרות (לדוגמה, פירוק לגורמים ראשוניים). אילו התאמות יהיו נחוצות כדי להתאים את האלגוריתם למטרות אחרות?
5. דון בחשיבות של הבנת סיבוכיות האלגוריתם (זמן וזיכרון) בתכנון פתרון יעיל לבעיה.

מילון מונחים

• בסיס (k): המספר שמעלים בחזקה כדי ליצור את מרכיבי הסכום.
• חזקה (e): המעריך שאליו מעלים את הבסיס.
• פירוק: ייצוג של מספר כסכום של חזקות שונות של בסיס נתון.
• DFS (חיפוש לעומק): אלגוריתם חיפוש שעובר לעומק לאורך כל ענף לפני מעבר לענף הבא.
• סיבוכיות זמנית: הערכה של כמות הזמן שהאלגוריתם דורש כתלות בגודל הקלט.
• סיבוכיות זיכרונית: הערכה של כמות הזיכרון שהאלגוריתם דורש כתלות בגודל הקלט.
• סריקה לאחור: מעבר על ערכים בסדר יורד.
• עטיפה (wrapper): פונקציה שמקבלת את הקלט הראשוני ומעבירה אותו לפונקציה רקורסיבית עם ערכי התחלה מתאימים.
• תנאי עצירה: תנאי שמסיים את הביצוע של פונקציה רקורסיבית.
• גורם חיצוני: החלק החיצוני של האלגוריתם שמתחיל את התהליך ומנהל אותו.
• גורם פנימי: החלק הפנימי של האלגוריתם שמבצע את החישובים העיקריים, כמו ה-DFS.

❖ שאלות נפוצות על פירוק מספר לסכום חזקות שונות

1. מהי הבעיה שהקוד מנסה לפתור?

הקוד מקבל מספר שלם חיובי num (גדול מ-2) ומטרתו למצוא את הבסיס k הגדול ביותר (גדול או שווה ל-2) כך שניתן לייצג את num כסכום של חזקות שונות של k. אם לא קיים בסיס מתאים, הקוד מחזיר 0.

2. איך הקוד עובד באופן כללי?

הקוד משתמש בשני חלקים עיקריים: סריקה לאחור של הבסיס k וחיפוש DFS (Depth-First Search) כדי לבדוק האם ניתן לפרק את num לסכום של חזקות שונות של k עבור כל k. הסריקה מתחילה מ- num – 2 ויורדת עד ל-1. ברגע שנמצא פירוק מתאים, הקוד מחזיר את k. אם לא נמצא פירוק עבור אף k, הקוד מחזיר 0.

3. מה תפקיד הפונקציה maxFactor(num, factor)?

הפונקציה maxFactor(num, factor) (העטיפה) מתחילה את תהליך החיפוש. היא קוראת לפונקציה maxFactor(num, factor) (הסריקה לאחור) עם הבסיס האפשרי הגדול ביותר, num – 2.

4. איך הקוד בודק האם בסיס factor מתאים?

הבדיקה האם factor מתאים מתבצעת באמצעות פונקציית DFS רקורסיבית maxFactor(num, factor, i, path). הפונקציה בודקת האם ניתן להגיע למצב שבו num שווה ל-0 על ידי הוספה או דילוג על חזקות של factor. ה-DFS עובר על כל תתי-הקבוצות האפשריות של חזקות factor (החל מ-factor^0).

5. מהם תנאי העצירה של ה-DFS?

לפונקציית ה-DFS יש שני תנאי עצירה עיקריים:

• num == 0: אם num הגיע ל-0, זה אומר שנמצא פירוק מתאים, והפונקציה מחזירה true.
• factor^i > num: אם חזקה של factor גדולה מ-num, זה אומר שלא ניתן להשתמש בחזקה הזו לפירוק, והפונקציה מחזירה false.

6. למה הקוד מחזיר את הבסיס המקסימלי?

מכיוון שהקוד סורק את הבסיסים k מ-num – 2 ומטה, ברגע שהוא מוצא פירוק מתאים, זהו ה-k הגדול ביותר האפשרי. ה-DFS מבטיח שהוא בודק את כל תתי-הקבוצות האפשריות של חזקות k.