מדריך לימוד: הבנת LCS של שלושה מחרוזות
סקירה כללית
מדריך לימוד זה נועד לבדוק את הבנתכם בפונקציית תת-הרצף המשותף הארוך ביותר (LCS) עבור שלוש מחרוזות, כפי שתוארה בקוד ובתיאור המילולי.
חידון (שאלות קצרות)
ענה על עשר השאלות הבאות ב-2-3 משפטים כל אחת.
- מהי מטרתה העיקרית של פונקציית lcs בקוד שסופק?
- מה מייצג "תת-רצף" בהקשר של בעיית ה-LCS, וכיצד הוא שונה מ"תת-מחרוזת"?
- תאר את מקרה הבסיס (base case) של הפונקציה הרקורסיבית lcs כפי שמופיע בקוד.
- מהי הפעולה הננקטת כאשר שלושת התווים הראשונים של המחרוזות st1, st2, ו-st3 זהים?
- כאשר שלושת התווים הראשונים אינם זהים, אילו שלוש אפשרויות נבדקות על ידי הפונקציה?
- כיצד הפונקציה מבטיחה שהיא מוצאת את "האורך הארוך ביותר" כאשר מתעוררת אי-התאמה?
- מדוע הקוד מחזיר 0 כאשר אחת מהמחרוזות ריקה?
- הסבר את הרעיון של "כיסוי מלא של אפשרויות" בהקשר של נכונות הפתרון.
- כיצד מבטיחה הפונקציה "בניית פתרון אופטימלי" כאשר קיימת התאמה משולשת?
- מה תפקידם של "בסיסי עצירה" (stopping bases) בפתרון הרקורסיבי של LCS?
מפתח תשובות לחידון
- מטרתה העיקרית של פונקציית lcs היא למצוא את האורך של תת-הרצף המשותף הארוך ביותר בין שלוש מחרוזות קלט נתונות. היא עושה זאת על ידי שימוש בגישה רקורסיבית המשווה תווים ומחלקת את הבעיה לתת-בעיות קטנות יותר.
- תת-רצף (subsequence) הוא רצף של תווים שניתן לקבל ממחרוזת אחרת על ידי מחיקת אפס או יותר תווים מבלי לשנות את סדר התווים הנותרים. הוא שונה מתת-מחרוזת (substring) בכך שתת-מחרוזת דורשת שהתווים יהיו רצופים במחרוזת המקורית.
- מקרה הבסיס של הפונקציה lcs הוא כאשר אחת או יותר מהמחרוזות הקלט (st1, st2, st3) הן ריקות (בעלות אורך 0). במקרה זה, הפונקציה מחזירה מיד את הערך 0, מכיוון שלא ייתכן תת-רצף משותף אם אחת המחרוזות ריקה.
- כאשר שלושת התווים הראשונים של המחרוזות זהים, הפונקציה מניחה שתו זה שייך ל-LCS. לכן, היא מוסיפה 1 לאורך ה-LCS שנמצא עד כה וקוראת לעצמה רקורסיבית עם תת-המחרוזות הנותרות (החל מהתו השני של כל מחרוזת).
- כאשר שלושת התווים הראשונים אינם זהים, הפונקציה מתפצלת לשלוש קריאות רקורסיביות: מתעלמת מהתו הראשון של המחרוזת הראשונה, מתעלמת מהתו הראשון של המחרוזת השנייה, או מתעלמת מהתו הראשון של המחרוזת השלישית. כל קריאה בוחנת נתיב אפשרי לבניית ה-LCS.
- הפונקציה מבטיחה שהיא מוצאת את "האורך הארוך ביותר" על ידי לקיחת המקסימום מבין התוצאות של שלוש הקריאות הרקורסיביות כאשר יש אי-התאמה. זה מאפשר לה לחקור את כל האפשרויות האפשריות ולהבטיח שהיא בוחרת את הנתיב המוביל ל-LCS הארוך ביותר.
- הקוד מחזיר 0 כאשר אחת מהמחרוזות ריקה מכיוון שאי אפשר למצוא תת-רצף משותף כלשהו אם אחת מהקבוצות המקוריות של התווים ריקה. זוהי נקודת עצירה הגיונית לבעיה הרקורסיבית, המייצגת מצב שבו לא ניתן להמשיך לבנות את ה-LCS.
- "כיסוי מלא של אפשרויות" פירושו שבכל נקודת אי-התאמה, הפונקציה בודקת את כל שלוש הדרכים האפשריות להיפטר מתו "בעייתי" (על ידי דילוג על תו אחד מכל אחת מהמחרוזות). יחד, שלוש האפשרויות הללו מבטיחות שכל LCS תקף יישקל.
- הפונקציה מבטיחה "בניית פתרון אופטימלי" בכך שכאשר מתגלה התאמה משולשת, התו נבחר בהכרח (ומתווסף 1 לאורך), מכיוון שהוא רק תורם לאורך ה-LCS. כאשר אין התאמה, נלקח הענף הרקורסיבי המעניק את האורך הגדול ביותר, מה שמבטיח אופטימליות.
- "בסיסי עצירה" (או מקרי בסיס) הם תנאים בקוד הרקורסיבי שמבטיחים שהחיפוש יסתיים, ובכך מונעים לולאה אינסופית. במקרה זה, כאשר אחת מהמחרוזות מתרוקנת, הפונקציה מפסיקה את הקריאות הרקורסיביות ומחזירה 0, מה שמאפשר לרקורסיה לחזור עם התוצאות.
שאלות מסוג חיבור
- הסבר בפירוט כיצד הפונקציה הרקורסיבית מטפלת הן במקרה של התאמה והן במקרה של אי-התאמה בין התווים הראשונים של שלוש המחרוזות. כיצד ההבדלים בטיפול במקרים אלו משפיעים על בניית ה-LCS?
- דון בתפקידה של הרקורסיה בפתרון בעיית ה-LCS. כיצד "החזרה למעלה" (backtracking) של התוצאות הרקורסיביות תורמת לחישוב האורך הסופי של ה-LCS?
- בעיית LCS ניתנת לפתרון גם באמצעות תכנות דינמי. הסבר מדוע גישה רקורסיבית טהורה, כמו זו המוצגת, עלולה להיות לא יעילה עבור קלטים גדולים, וכיצד תכנות דינמי יכול לשפר את היעילות.
- הסבר את חשיבותן של נקודות העצירה (base cases) בקוד הרקורסיבי. מה היה קורה אם נקודות עצירה אלו לא היו קיימות או היו מוגדרות בצורה שגויה?
- ניתוח דוגמה ידנית: עבור המחרוזות "ABC", "BAC", "BCA", עקוב אחר הלוגיקה של הפונקציה lcs והסבר כיצד היא מגיעה לאורך ה-LCS. התמקד בהתפצלויות ובבחירות המקסימליות.
מילון מונחים
- LCS (Longest Common Subsequence): תת-רצף משותף ארוך ביותר. האורך המרבי של רצף של תווים שמופיע בשתי מחרוזות או יותר, לאו דווקא ברצף, אך בסדר המקורי של התווים.
- מחרוזת (String): רצף של תווים.
- תת-רצף (Subsequence): רצף תווים הנגזר ממחרוזת אחרת על ידי מחיקת אפס או יותר תווים מבלי לשנות את סדר התווים הנותרים.
- רקורסיה (Recursion): טכניקה שבה פונקציה קוראת לעצמה כדי לפתור בעיה על ידי פירוקה לתת-בעיות קטנות יותר מאותו סוג.
- מקרה בסיס (Base Case): התנאי בפונקציה רקורסיבית המציין מתי הפונקציה צריכה להפסיק לקרוא לעצמה ולהחזיר ערך. זהו המקרה הפשוט ביותר של הבעיה.
- התאמה (Match): מצב שבו תו נתון (או תווים) בשני קלטים או יותר זהה.
- אי-התאמה (Mismatch): מצב שבו תו נתון (או תווים) בשני קלטים או יותר אינו זהה.
- substring(int beginIndex): מתודה ב-Java שיוצרת מחרוזת חדשה שהיא תת-מחרוזת של המחרוזת המקורית, החל מהאינדקס שצוין ועד לסוף המחרוזת.
- charAt(int index): מתודה ב-Java שמחזירה את התו במיקום שצוין במחרוזת.
- Math.max(): פונקציה שמחזירה את הערך הגדול ביותר מבין שני מספרים או יותר. משמשת ב-LCS לבחירת הנתיב האופטימלי.
פודקאסט על הפתרון